Kvadratna jednadžba je jedna od osnovnih vrsta jednadžbi u matematici, a njen opći oblik može se izraziti kao ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b i c realni brojevi, a a je različito od nule. Rješenja kvadratne jednadžbe mogu se odrediti korištenjem formule za diskriminantu, koja igra ključnu ulogu u određivanju prirode rješenja ove jednadžbe.
Diskriminanta kvadratne jednadžbe definira se kao izraz D = b2 – 4ac. Vrijednost diskriminante pomaže nam da shvatimo kakva su rješenja jednadžbe, odnosno da li su ona realna ili kompleksna, te koliko rješenja imamo. Postoje tri mogućnosti za vrijednost diskriminante:
1. Ako je D > 0, jednadžba ima dva različita realna rješenja. To znači da se parabola koju predstavljaju rješenja jednadžbe siječe s x-osom na dva različita mjesta.
2. Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje. U ovom slučaju, parabola dodiruje x-osu u jednom jedinom trenutku, što znači da je to rješenje višestruko.
3. Ako je D < 0, jednadžba nema realna rješenja, već ima dva kompleksna rješenja. U ovom slučaju, parabola ne siječe x-osu, a rješenja se nalaze u kompleksnoj ravnini.
Kada se koristi formula za rješavanje kvadratne jednadžbe, ona se može izraziti kao:
x = (-b ± √D) / (2a)
Ovdje se koristi korijen iz diskriminante. Ako je D > 0, oba rješenja će biti realna i različita. Ako je D = 0, oba rješenja će biti jednaka, a ako je D < 0, rješenja će biti kompleksna i neće biti moguća na realnoj osi.
Osim što je važna za razumijevanje rješenja kvadratne jednadžbe, diskriminanta također ima široku primjenu u različitim granama matematike i inženjerstva. Na primjer, u analizi funkcija i u statistici, gdje se može koristiti za ispitivanje svojstava kvadratnih funkcija.
Za bolje razumijevanje koncepta diskriminante i prirode rješenja kvadratne jednadžbe, možemo uzeti konkretan primjer. Razmotrimo kvadratnu jednadžbu x2 – 4x + 3 = 0. U ovom slučaju, imamo a = 1, b = -4, i c = 3. Prvo ćemo izračunati diskriminantu:
D = (-4)2 – 4 * 1 * 3 = 16 – 12 = 4
<pBudući da je D = 4 > 0, možemo zaključiti da kvadratna jednadžba ima dva različita realna rješenja. Sada možemo izračunati rješenja koristeći formulu:
x = (4 ± √4) / (2 * 1) = (4 ± 2) / 2
Odatle dobijamo x1 = (4 + 2) / 2 = 3 i x2 = (4 – 2) / 2 = 1. Dakle, rješenja kvadratne jednadžbe su x = 3 i x = 1.
U zaključku, diskriminanta je izuzetno važan alat u analizi kvadratnih jednadžbi, jer nam omogućuje da brzo procijenimo prirodu rješenja. Razumijevanje ovog pojma je ključno za sve koji se bave matematikom, a posebno za studente i učenike koji žele usavršiti svoje znanje u algebri.
