Diskriminanta kvadratne jednačine jedan je od ključnih pojmova u algebri koji pomaže u rješavanju kvadratnih jednadžbi. Kvadratna jednadžba općenito se može zapisati u obliku ax² + bx + c = 0, gdje su a, b i c koeficijenti, a a ne smije biti nula. Diskriminanta se označava s D i izračunava se kao D = b² – 4ac. Ova vrijednost je izuzetno važna jer određuje broj i prirodu rješenja kvadratne jednadžbe.
Kada se izračuna diskriminanta, postoje tri mogućnosti. Ako je D > 0, kvadratna jednadžba ima dva različita realna rješenja. U slučaju da je D = 0, postoji jedno dvostruko rješenje, a ako je D < 0, kvadratna jednadžba nema realna rješenja, već ima dva kompleksna rješenja. Ova svojstva diskriminante omogućuju nam da brzo procijenimo kako će se kvadratna jednadžba ponašati bez potrebe za izračunavanjem rješenja.
U nastavku ćemo proći kroz nekoliko primjera zadataka koji uključuju diskriminantu kvadratnih jednadžbi. Prvi primjer: riješimo kvadratnu jednadžbu x² – 4x + 3 = 0. Prvo, prepoznajemo koeficijente: a = 1, b = -4, c = 3. Sada izračunajmo diskriminantu: D = (-4)² – 4 × 1 × 3 = 16 – 12 = 4. Budući da je D > 0, znamo da imamo dva različita realna rješenja.
Da bismo pronašli rješenja, koristimo formulu: x = (-b ± √D) / 2a. U našem slučaju to postaje x = (4 ± √4) / 2 × 1 = (4 ± 2) / 2. Izračunavamo oba rješenja: prvo rješenje je x₁ = (4 + 2) / 2 = 6 / 2 = 3, a drugo rješenje je x₂ = (4 – 2) / 2 = 2 / 2 = 1. Dakle, rješenja kvadratne jednadžbe x² – 4x + 3 = 0 su x₁ = 3 i x₂ = 1.
Drugi primjer može biti kvadratna jednadžba 2x² + 4x + 2 = 0. Prvo, identificiramo koeficijente: a = 2, b = 4, c = 2. Izračunajmo diskriminantu: D = 4² – 4 × 2 × 2 = 16 – 16 = 0. Budući da je D = 0, imamo jedno dvostruko rješenje.
Koristimo istu formulu za rješenje: x = (-b ± √D) / 2a, što postaje x = (-4 ± √0) / 2 × 2 = -4 / 4 = -1. Dakle, jedino rješenje kvadratne jednadžbe 2x² + 4x + 2 = 0 je x = -1.
Na kraju, razmotrimo kvadratnu jednadžbu x² + x + 1 = 0. Ovdje su koeficijenti: a = 1, b = 1, c = 1. Izračunajmo diskriminantu: D = 1² – 4 × 1 × 1 = 1 – 4 = -3. Budući da je D < 0, znamo da nema realnih rješenja, već dva kompleksna rješenja.
Za kompleksna rješenja koristimo istu formulu: x = (-1 ± √(-3)) / 2 × 1 = (-1 ± i√3) / 2, gdje je i imaginarna jedinica. Rješenja su x₁ = (-1 + i√3) / 2 i x₂ = (-1 – i√3) / 2.
Kao što smo vidjeli kroz ove primjere, razumijevanje diskriminante kvadratne jednadžbe ključno je za rješavanje zadataka u algebri. Diskriminanta ne samo da nam pomaže u određivanju broja rješenja, već i u njihovoj prirodi. To je osnovni alat koji svaki učenik treba savladati kako bi se uspješno nosio s kvadratnim jednadžbama u matematici.
