Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice predstavljaju važan koncept u matematici koji se koristi za rješavanje problema u raznim područjima, od ekonomije do inženjerstva. Ovi sustavi sastoje se od dvije linearne jednadžbe koje se rješavaju simultano kako bi se pronašle vrijednosti nepoznanica. U ovom članku istražit ćemo što su sustavi linearnih jednadžbi, kako ih rješavati, te primjere iz stvarnog života.
Linearne jednadžbe su jednadžbe prvog stupnja koje se mogu predstaviti u obliku ax + by = c, gdje su a, b, i c koeficijenti, dok su x i y nepoznanice. Kada imamo dva takva izraza, možemo ih kombinirati u sustav:
1. Jednadžba: ax + by = c
2. Jednadžba: dx + ey = f
Rješavanje sustava linearnih jednadžbi može se provesti na nekoliko načina, uključujući metodu supstitucije, metodu eliminacije i grafičku metodu. Svaka od ovih metoda ima svoje prednosti i primjene. Metoda supstitucije uključuje rješavanje jedne jednadžbe za jednu nepoznanicu, a zatim zamjenu te vrijednosti u drugoj jednadžbi. Metoda eliminacije se koristi za uklanjanje jedne od nepoznanica zbrajanjem ili oduzimanjem jednadžbi. Grafička metoda uključuje crtanje grafova obje jednadžbe na koordinatnom sustavu i pronalaženje točke presjeka, koja predstavlja rješenje sustava.
Razmotrimo primjer kako bismo bolje razumjeli ove metode. Pretpostavimo da imamo sljedeći sustav:
1. 2x + 3y = 6
2. x – y = 2
Prvo, možemo rješavati prvu jednadžbu za jednu nepoznanicu. Iz prve jednadžbe, možemo izraziti y:
3y = 6 – 2x
y = 2 – (2/3)x
Potom zamjenjujemo ovu vrijednost u drugu jednadžbu:
x – (2 – (2/3)x) = 2
x + (2/3)x – 2 = 2
(5/3)x = 4
x = (4 * 3)/5 = 12/5
Jednom kada imamo vrijednost za x, možemo je umetnuti natrag u prvu jednadžbu da bismo našli y:
2(12/5) + 3y = 6
24/5 + 3y = 6
3y = 6 – 24/5
3y = 30/5 – 24/5
3y = 6/5
y = 2/5
Rješenje ovog sustava je x = 12/5 i y = 2/5. Ova rješenja mogu se interpretirati kao koordinate točke presjeka dviju pravaca koje predstavljaju jednadžbe.
Sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice imaju široku primjenu. Na primjer, u ekonomiji, mogu se koristiti za modeliranje potražnje i ponude na tržištu. U inženjerstvu, mogu pomoći u određivanju sila koje djeluju na strukturu. Također, u svakodnevnom životu, mogu se koristiti za izračunavanje troškova i resursa. Na primjer, ako planiramo putovanje i trebamo odrediti koliko će nas koštati gorivo i hrana, možemo postaviti sustav jednadžbi gdje su nepoznanice cijene goriva i hrane, a jednadžbe predstavljaju ukupne troškove.
U zaključku, sustavi linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice su ključni alat u matematici i primijenjenim znanostima. Razumijevanje kako ih rješavati može značajno olakšati rješavanje problema i donošenje odluka u različitim situacijama. Bez obzira na to koristimo li metodu supstitucije, eliminacije ili grafičku metodu, osnove rješavanja ovih sustava ostaju iste. Iako se može činiti izazovnim na početku, s praksom i primjenom, rješavanje sustava linearnih jednadžbi postaje lakše i intuitivnije.
